Das Parlament von Antura

Dr. Michael Glaubitz
Dr. Michael Glaubitz

mathematik-unterrichten.de

Im Parlament von Antura sitzen viele Abgeordnete. Einige von ihnen sind untereinander spinnefeind. Doch jeder Abgeordnete hat nicht mehr als drei solcher „Feinde”.

Zeigen Sie, dass das ganze Parlament in zwei Kammern geteilt werden kann, so dass jeder Abgeordnete in seiner eigenen Kammer höchstens einen „Feind“ hat.
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Wir betrachten alle denkbaren Teilungen des Parlaments in zwei Kammern. Für jede dieser Teilungen machen wir folgendes: Wir zählen, wie viele „Feinde“ jeder Abgeordnete in der Kammer hat, der er angehört. Dann bilden wir die Summe all dieser Zahlen und nennen sie F. F bezeichnet also die Gesamtzahl von kammerinternen Feindschaften, die sich ergibt, wenn das Parlament auf eine bestimmte Weise geteilt wird.

Wir machen uns nun klar, dass es (mindestens) eine Teilung des Parlaments gibt, für die F einen minimalen Wert annimmt. Das muss so sein, denn es gibt überhaupt nur endlich viele Teilungen. Zu jeder von ihnen gehört eine Zahl F. Unter diesen endlich vielen Zahlen F gibt es zwangsläufig eine kleinste Zahl. Nennen wir sie F*. Die Teilung, die zu dieser Zahl F* gehört, fassen wir nun ins Auge. Sie ist nämlich die Teilung, die wir suchen – die Teilung also, in der jeder Abgeordnete in seiner eigenen Kammer höchstens einen „Feind“ hat. Wieso können wir uns da sicher sein?

Nehmen wir einmal an, es wäre nicht so. Dann gäbe es also mindestens einen Abgeordneten A, der wenigstens zwei „Feinde“ in seiner Kammer hätte. Da er insgesamt nicht mehr als drei „Feinde“ hat, befände sich in der anderen Kammer höchstens ein „Feind“. A könnte nun in diese Kammer wechseln und dadurch die Gesamtzahl von kammerinternen Feindschafen F* reduzieren. Das aber widerspricht unserer Annahme, dass F* bereits minimal ist. Es ist also nicht möglich, dass bei der ins Auge gefassten Teilung des Parlaments ein Abgeordneter mehr als einen „Feind“ in seiner Kammer hat. Folglich muss das Gegenteil richtig sein: dass jeder Abgeordnete in seiner Kammer höchstens einen „Feind“ hat.

In dieser Argumentation haben wir das sogenannte Wohlordnungsprinzip der natürlichen Zahlen benutzt. Es besagt: Jede Menge natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element (eine kleinste Zahl). Man sagt dazu auch: Die natürlichen Zahlen sind wohlgeordnet. Wie unser Beispiel zeigt, kann diese einfache Eigenschaft an unerwarteten Stellen beweiskräftig werden.

Unterrichtsmaterial

Zu diesem Rätsel haben wir Material erstellt, das gut im Schulunterricht eingesetzt werden kann. Es kann hier (kostenlos) heruntergeladen werden.

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