„Die zwei Türme“ – problemorientiert zum Satz des Thales

Sailing into the fog
Dr. Michael Glaubitz
Dr. Michael Glaubitz

mathematik-unterrichten.de

Der Einstieg in den Satz des Thales kann zu einer spannenden Angelegenheit werden, wenn Sie ihn problemorientiert gestalten. Das Material auf dieser Seite kann dabei helfen.

Stellen Sie den Lernenden etwa folgende Situation vor: Ein kleines Schiff befindet sich auf einem großen Binnensee. Es ist sehr neblig, und der Schiffskapitän hat sich verfahren. Er hat zwar eine Karte der Gegend an Bord, kann aber wegen des Nebels um sich herum nichts erkennen. Auch das Land sieht er nicht. Lediglich zwei Türme, die sich laut Karte am Ufer befinden, kann er in der Ferne ausmachen. Er peilt beide Türme an und misst einen Winkel von 90° zwischen ihnen (genauer: zwischen den beiden Sichtlinien von seinem Standort zum jeweiligen Turm). Wo auf dem See befindet er sich?

Eine Geschichte wie diese könnte im Unterricht zum Satz des Thales (genauer: zu dessen Umkehrung) führen. Wenn Sie die Aufgabe in Gruppen bearbeiten lassen, ergeben sich viele unterschiedliche Lösungen. Der Ort ist offenbar gar nicht eindeutig zu bestimmen. Lassen Sie die Lösungen auf Folien eintragen und übereinander legen, so wird deutlich, dass sich die möglichen Positionen des Schiffs allesamt auf einem (Halb-)Kreis befinden (vgl. nächstes Bild). Das war nicht zu erwarten! Der Thaleskreis ist damit entdeckt.

Je mehr Lösungen, umso mehr zeigt sich der Thaleskreis.


Statt Folien lassen sich heutzutage natürlich auch gemeinsam editierbare Dokumente nutzen, wenn die technischen Voraussetzungen dafür vorliegen (z. B. OneNote oder 
Google Jamboard).

Das folgende Geogebra-Applet stellt die Situation ebenfalls dar. Wenn die Schüler die grünen Punkte verschieben, bis sie richtig liegen (90°), entdecken sie auch hier den (Halb-)Kreis. Die Verschiebung der Punkte ist nur in senkrechter Richtung möglich, damit der Spielraum nicht zu groß und unübersichtlich wird. Probieren Sie es selbst einmal aus!

Die Applets auf dieser Seite  funktionieren besser auf einem größeren Bildschirm.


In Bezug auf die Fragestellung lässt sich also schon mal festhalten: Wenn der Kapitän von seiner Position aus 90° misst, könnte er sich überall auf einem Halbkreis über der Verbindungsstrecke zwischen den beiden Türmen befinden.

Enrichment: Der Kreiswinkelsatz

Bevor man sich nun auf Anwendungen des Thalessatzes stürzt, könnte man ergänzend oder differenzierend die Schüler anregen zu untersuchen, welche Positionen sich ergeben, wenn der Kapitän nicht 90° gemessen hat, sondern einen anderen Winkel  \gamma . Auch dies wäre mit dem Applet möglich –wo könnte sich das Schiff dann befinden? 

Die Antwort ist bald gefunden: Wieder auf einem Kreis, auf dem alle drei Punkte liegen (A, B und das Schiff). Es ist der Umkreis des zugehörigen Dreiecks. Der Kreisbogen, auf dem die drei Punkte liegen, umfasst diesmal aber nicht 180° – ist also kein Halbkreis – sondern einen anderen Winkel. Dessen Wert beträgt 360°-\varphi . Dabei ist \varphi der Mittelpunktswinkel zu \gamma , und stets doppelt so groß wie dieser:  \varphi = 2\gamma . Der Kreiswinkel- bzw. Umfangswinkelsatz fällt einem praktisch auf die Füße – auch wenn er nicht mehr in allen Kerncurricula der Länder enthalten ist.

Dier hier benutzten Applets finden Sie übrigens unter der Adresse geogebra.org/m/vffc2xtb bzw. geogebra.org/m/ccsraaud. Die Karte habe ich auf die Schnelle mit der freien Version von inkarnate.com erstellt – zweifellos ließe sich beides noch weiter aufhübschen oder modifizieren (z. B. den Kreis nicht automatisch anzeigen sondern von Schülern konstruieren lassen). Wenn Sie die Einschränkung auf senkrechte Verschiebungen der Punkte nicht mögen, steht Ihnen unter geogebra.org/m/zwzh29ct ein anderes Applet eines anderen Autoren zur Verfügung.

Eine solche Hinführung zum Thaleskreis (und verwandten Entdeckungen) besitzt gegenüber dem oft umgekehrten Weg – Halbkreis zeichnen, Punkt markieren, Winkel messen, beweisen – einige Vorteile. Sie ist problemorientiert, weckt Interesse durch den Kontext („verirrt im Nebel“), die Lösungen sind divers und darum austausch- und diskussionswürdig, ihre Gemeinsamkeit (alle Punkte auf einer Kreislinie) überrascht, und am Ende steht eine mathematische Entdeckung (der Thaleskreis), die zu weiteren Fragen und Erkenntnissen führt (Umfangswinkelsatz). All diese Elemente können eine reiche, von Schüleraktivitäten und Einsichten geprägte Stunde ausmachen. 

Fortsetzung im Matheclub

Wenn den Lernenden bei diesem Thema Gelegenheit zum Spielen gegeben wird, gelingen ihnen zuweilen einige visuell reizvolle Darstellungen. Das folgende Applet wurde von einer Schülerin im schulischen Matheclub erstellt. Es zeigt das von ihr so bezeichnete „Thalesfeld“ – eine Serie von Fasskreisbögen, Bögen also, von denen die beiden verschiebbaren Punkte unter demselben Winkel erscheinen. Das Bild erinnert an das Magnetfeld eines Stabmagneten. 

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