Wie löst man eine Betragsgleichung?

1. Lernziele

• Die Schüler verstehen den Begriff des Betrags und können Betragsgleichungen aufstellen und lösen.
• Die Schüler üben den Umgang mit Fallunterscheidungen in der Mathematik.
• Die Schüler entwickeln eine systematische Vorgehensweise zur Lösung einer komplexen Gleichung und argumentieren mathematisch korrekt.
• Die Schüler erkennen, dass eine Gleichung mehrere Lösungen haben kann und stellen Zusammenhänge zwischen den Variablen her.

2. Zeitbedarf

45–60 Minuten

3. Materialien

• Arbeitsblatt mit der Aufgabe und Denkanstößen (siehe TeX-Aufgabe)
• Tafel oder Whiteboard für die gemeinsame Erarbeitung
• Taschenrechner oder Tablet für Berechnungen (optional)
• Papier und Stifte

4. Phasen des Unterrichts

Phase 1: Einstieg (ca. 10 Minuten)

1. Aktivierung des Vorwissens: Beginnen Sie mit einer kurzen Wiederholung des Betragsbegriffs. Fragen Sie die Schüler, was der Betrag einer Zahl ist, und lassen Sie sie einfache Beispiele an der Tafel lösen (z.B. \( |4| \), \( |-3| \), \( |0| \)). Besprechen Sie kurz, was passiert, wenn die Betragsfunktion auf Variablen angewendet wird (z.B. \( |x| \)).
2. Einführung der Aufgabe: Stellen Sie die Aufgabe vor: \( |x| + 2|y| = 100 \) und erklären Sie den Kontext (ganze Zahlen für \(x\) und \(y\)). Verteilen Sie die Arbeitsblätter an die Schüler. Lesen Sie die Aufgabenstellung laut vor und erläutern Sie, dass die Schüler herausfinden sollen, wie viele verschiedene Lösungen diese Gleichung hat.

Phase 2: Erarbeitungsphase (ca. 20–25 Minuten)

1. Denkanstöße (Gruppenarbeit): Teilen Sie die Klasse in Kleingruppen ein (2–3 Schüler pro Gruppe) und lassen Sie sie die Aufgabe gemeinsam bearbeiten. Weisen Sie darauf hin, dass auf dem Arbeitsblatt Denkanstöße gegeben sind, die ihnen beim Lösen helfen können.
   • Denkanstoß 1: Die Schüler sollen analysieren, was passiert, wenn \( |y| > 50 \) ist. Fordern Sie sie auf, über die Konsequenzen für \( x \) nachzudenken.
   • Denkanstoß 2: Die Schüler sollen den Fall \( |y| = 50 \) untersuchen. Sie sollten erkennen, dass es für \( x \) nur eine Lösung gibt, wenn \( |y| = 50 \).
   • Denkanstoß 3: Die Schüler sollen überlegen, wie viele Lösungen es für \( x \) gibt, wenn \( |y| \leq 49 \) ist. Ermutigen Sie sie, eine systematische Methode zu verwenden (z.B. eine Wertetabelle für \( y \) und \( x \)).
2. Lehrer-Feedback und Unterstützung: Gehen Sie durch die Klasse und unterstützen Sie die Schülergruppen. Stellen Sie gezielte Fragen, um ihr Verständnis zu fördern:
   • „Was passiert, wenn \( |y| > 50 \)?“
   • „Wie verändert sich \( x \), wenn \( |y| \) kleiner wird?“
   • „Gibt es für jeden \( y \) nur eine Lösung für \( x \) oder mehrere? Warum?“

Phase 3: Diskussion und Reflexion (ca. 10–15 Minuten)

1. Präsentation der Lösungsansätze: Lassen Sie jede Gruppe ihre Ansätze an der Tafel vorstellen. Fordern Sie die Gruppen auf, ihre Überlegungen und Zwischenschritte zu erklären. Helfen Sie dabei, gemeinsam einen Überblick über die verschiedenen Fälle zu erarbeiten:
   • Fall 1: \( |y| > 50 \) (keine Lösung).
   • Fall 2: \( |y| = 50 \) (genau eine Lösung für \( x \)).
   • Fall 3: \( |y| \leq 49 \) (zwei Lösungen für \( x \)).
2. Systematische Darstellung der Lösung: Schreiben Sie eine übersichtliche Tabelle an die Tafel, um die Lösungen zu visualisieren. Betonen Sie, dass es für \( |y| = 50 \) nur eine Lösung gibt und für \( |y| \leq 49 \) jeweils zwei Lösungen. Zeigen Sie, dass dies zu insgesamt 200 Lösungen führt (99 für \( y = -49 \) bis \( y = 49 \), plus die zwei Lösungen für \( y = 50 \)).
3. Reflexion: Stellen Sie den Schülern folgende Fragen zur Reflexion:
   • „Was war bei dieser Aufgabe besonders wichtig, um die Lösung zu finden?“
   • „Wie haben Sie die Fälle systematisch unterschieden?“
   • „Warum ist es wichtig, alle möglichen Fälle zu betrachten?“

Phase 4: Abschluss und Ausblick (ca. 5 Minuten)

1. Zusammenfassung: Fassen Sie die zentralen Schritte zur Lösung der Aufgabe zusammen:
   • Der Betrag gibt den Abstand zur Null an.
   • Die Untersuchung von Fallunterscheidungen hilft, komplexe Gleichungen systematisch zu lösen.
   • Auch in einfachen Gleichungen wie \( |x| + 2|y| = 100 \) können mehrere Lösungen existieren.
2. Hausaufgabe (optional): Geben Sie den Schülern eine ähnliche Aufgabe als Hausaufgabe, um das Gelernte zu festigen:

   Lösen Sie die Gleichung \( |x| + 3|y| = 120 \) für ganze Zahlen \(x\) und \(y\). Wie viele Lösungen gibt es hier?

5. Differenzierung

• Schüler, die schneller fertig sind: Geben Sie ihnen erweiterte Fragen, z.B. „Was passiert, wenn \( x \) und \( y \) keine ganzen Zahlen sind?“ oder „Wie verändert sich die Anzahl der Lösungen, wenn die Gleichung \( |x| + 3|y| = 100 \) lautet?“
• Schüler, die mehr Unterstützung benötigen: Lassen Sie sie die Beträge von \(x\) und \(y\) zunächst anhand einfacher Zahlen (z.B. \( |x| + 2|y| = 10 \)) untersuchen, um das Prinzip der Fallunterscheidung zu verinnerlichen.

6. Materialien (für den Unterricht)

• Arbeitsblatt:
  • Aufgabe: \( |x| + 2|y| = 100 \)
  • Denkanstöße
  • Platz für eigene Berechnungen und Tabellen

7. Erweiterungen

• Untersuchung weiterer Gleichungen: z.B. \( |x| + 3|y| = k \) für verschiedene Werte von \(k\).
• Einführung in graphische Darstellungen: Zeichnen Sie die Lösungen auf einem Koordinatensystem und besprechen Sie das Muster der Punkte.

Antizipation möglicher Schülerlösungen und Fehler sowie sinnvolle Sequenzierung in der Besprechung

1. Mögliche Lösungsansätze der Schüler

Die Schüler könnten verschiedene Herangehensweisen und Strategien entwickeln, um die Betragsgleichung \( |x| + 2|y| = 100 \) zu lösen. Hier sind einige typische Lösungsansätze, die wahrscheinlich im Unterricht auftreten werden:

• Ansatz 1: Zufälliges Ausprobieren

  Einige Schüler werden möglicherweise versuchen, verschiedene Werte für \(y\) einzusetzen und die Gleichung für \(x\) zu lösen, ohne ein systematisches Vorgehen. Dies kann dazu führen, dass sie einige Lösungen finden, aber nicht die vollständige Anzahl. Dieser Ansatz zeigt, dass die Schüler die Fallunterscheidungen noch nicht erkannt haben.

• Ansatz 2: Einsatz von \(y = 50\) oder \(y = 0\)

  Andere Schüler könnten direkt die extremen Werte für \(y\) (z.B. \(y = 50\) oder \(y = 0\)) ausprobieren, da diese offensichtliche Kandidaten sind. Sie werden feststellen, dass es für \(y = 50\) genau eine Lösung für \(x\) gibt und für \(y = 0\) zwei Lösungen. Dieser Ansatz zeigt, dass die Schüler zumindest begonnen haben, systematisch vorzugehen, aber sie erkennen möglicherweise noch nicht alle Fälle.

• Ansatz 3: Analyse der Fälle für \( |y| > 50 \)

  Einige fortgeschrittene Schüler könnten erkennen, dass \( |y| > 50 \) keine gültigen Lösungen liefert, da \( 2|y| > 100 \) ist. Dieser Ansatz zeigt, dass die Schüler bereits ein tiefes Verständnis der Betragsfunktion und der Struktur der Gleichung entwickelt haben.

• Ansatz 4: Systematisches Vorgehen mit Fallunterscheidungen

  Die Schüler, die ein systematisches Vorgehen wählen, werden \(y\) schrittweise von 0 bis 49 und -49 bis -1 durchgehen. Sie erkennen, dass für jeden Wert von \(y\) zwei Lösungen für \(x\) existieren. Dieser Ansatz wird am genauesten sein und führt zur richtigen Anzahl von Lösungen (200). Die Schüler, die diesen Ansatz verwenden, haben ein gutes Verständnis für die systematische Lösung der Betragsgleichung entwickelt.

2. Typische Fehler und Missverständnisse

Es ist zu erwarten, dass die Schüler auf einige typische Fehler und Missverständnisse stoßen. Diese könnten sein:

• Fehler 1: Ignorieren von Fallunterscheidungen

  Ein häufiger Fehler wird sein, dass Schüler nur positive Werte von \(y\) betrachten und negative Werte außer Acht lassen. Dies führt dazu, dass sie die Hälfte der Lösungen übersehen.

• Fehler 2: Keine Berücksichtigung von \(y = 50\)

  Manche Schüler könnten vergessen, den Fall \(y = 50\) zu berücksichtigen, was zu einer falschen oder unvollständigen Anzahl von Lösungen führt. Dieser Fehler kann darauf hinweisen, dass sie Schwierigkeiten haben, Grenzfälle zu erkennen.

• Fehler 3: Rechnen mit Dezimalwerten oder nicht-ganzzahligen Lösungen

  Einige Schüler könnten versuchen, mit nicht-ganzzahligen Lösungen zu rechnen, was bei dieser Aufgabe nicht zulässig ist. Dieser Fehler kann darauf hinweisen, dass sie die Bedingung übersehen haben, dass \(x\) und \(y\) ganze Zahlen sein müssen.

• Fehler 4: Fehler bei der Subtraktion

  Manche Schüler könnten Fehler bei der Berechnung von \( |x| = 100 – 2|y| \) machen, insbesondere bei der Subtraktion, und falsche Werte für \(x\) berechnen. Dies deutet auf Schwächen in der Rechentechnik hin.

3. Vorschlag zur Reihenfolge der Besprechung im Plenum

Um die verschiedenen Ansätze und Fehler im Plenum sinnvoll zu besprechen, bietet es sich an, eine strukturierte Reihenfolge zu verwenden, die die Entwicklung der Lösungsstrategien nachvollzieht. Hier ist eine empfohlene Reihenfolge:

1. Zufälliges Ausprobieren (Ansatz 1)

   Beginnen Sie mit den Schülern, die den Ansatz des Ausprobierens gewählt haben. Dieser Ansatz ist häufig der erste Impuls und bietet die Möglichkeit, zu zeigen, warum systematisches Vorgehen nötig ist. Betonen Sie, dass dieser Ansatz nicht alle Lösungen liefert und leicht unvollständig ist.

2. Extremwerte ausprobieren (Ansatz 2)

   Besprechen Sie danach den Ansatz, Extremwerte (z.B. \(y = 50\) oder \(y = 0\)) zu testen. Diese Schüler haben bereits begonnen, systematischer zu denken, jedoch erkennen sie möglicherweise noch nicht, dass viele weitere Fälle betrachtet werden müssen. Betonen Sie hier, dass es wichtig ist, auch Zwischenschritte zu berücksichtigen.

3. Fehler in den Fallunterscheidungen (Fehler 1 und 2)

   Nun ist es sinnvoll, auf die Fehler hinzuweisen, bei denen Schüler negative Werte oder spezielle Fälle (wie \(y = 50\)) übersehen haben. Dies hilft den Schülern zu verstehen, dass alle möglichen Fälle untersucht werden müssen.

4. Systematisches Vorgehen (Ansatz 4)

   Zum Abschluss sollte der Ansatz der systematischen Fallunterscheidung besprochen werden. Diese Schüler haben die Gleichung richtig analysiert und alle Fälle berücksichtigt. Loben Sie diesen Ansatz und zeigen Sie, wie er zu der korrekten Anzahl von 200 Lösungen führt. Dieser Schritt sollte als „Vorbild“ für die anderen Ansätze dienen.

5. Zusammenfassung der häufigsten Fehler

   Beenden Sie die Diskussion mit einer Zusammenfassung der häufigsten Fehler (z.B. Vernachlässigung der negativen Werte, falsche Subtraktion). Dies hilft den Schülern, ihre eigenen Ansätze zu reflektieren und aus den Fehlern der anderen zu lernen.

4. Fazit

Durch die Besprechung der verschiedenen Lösungsansätze im Plenum und die gezielte Aufarbeitung der häufigsten Fehler werden die Schüler ein besseres Verständnis für das systematische Lösen von Betragsgleichungen und Fallunterscheidungen entwickeln. Dies wird ihnen helfen, ähnliche Aufgaben in der Zukunft erfolgreicher zu lösen.

Den Unterrichtsvorschlag und die Antizipationen können hier heruntergeladen werden.