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Lösung. Sei $P_n=\left(a_n, b_n, c_n, d_n\right)$Pn​=(an​,bn​,cn​,dn​) das Quadrupel nach $n$n Iterationen. Dann gilt für $n \geq 1$n≥1 $a_n+b_n+c_n+d_n=0$an​+bn​+cn​+dn​=0. Wir sehen noch nicht, wie wir diese Invariante nutzen können. Aber die geometrische Interpretation ist meist hilfreich. Eine sehr wichtige Funktion für den Punkt $P_n$Pn​ im 4-Raum ist das Quadrat seines Abstands vom Ursprung $(0,0,0,0)$(0,0,0,0), welches $a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2$an2​+bn2​+cn2​+dn2​ ist. Wenn wir beweisen könnten, dass es keine obere Schranke hat, wären wir fertig. Wir versuchen eine Beziehung zwischen $P_{n+1}$Pn+1​ und $P_n$Pn​ zu finden: Jetzt können wir $a_n+b_n+c_n+d_n=0$an​+bn​+cn​+dn​=0 oder besser gesagt dessen Quadrat benutzen: $0=\left(a_n+b_n+c_n+d_n\right)^2=\left(a_n+c_n\right)^2+\left(b_n+d_n\right)^2+2 a_n b_n+2 a_n d_n+2 b_n c_n+2 c_n d_n$0=(an​+bn​+cn​+dn​)2=(an​+cn​)2+(bn​+dn​)2+2an​bn​+2an​dn​+2bn​cn​+2cn​dn​. Addieren wir (1) und (2) für $a_{n+1}^2+b_{n+1}^2+c_{n+1}^2+d_{n+1}^2$an+12​+bn+12​+cn+12​+dn+12​, so erhalten wir Aus dieser invarianten Ungleichungsbeziehung schließen wir, dass für $n \geq 2$n≥2 Der Abstand der Punkte $P_n$Pn​ vom Ursprung nimmt unbegrenzt zu, was bedeutet, dass zumindest eine Komponente beliebig groß werden muss. Kann man in (2) immer Gleichheit haben?