Intelligentes Üben: Wie Variationstheorie und RECE-Methode den Unterricht bereichern

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Dr. Michael Glaubitz

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Im Mathematikunterricht ist es eine stetige Herausforderung, Übungsmethoden zu entwickeln, die nicht nur effektiv, sondern auch inspirierend für Schülerinnen und Schüler sind. Traditionelle Ansätze, die oft auf der Wiederholung von Aufgabenblöcken basieren, haben sich dabei schon lange als unzureichend erwiesen, um ein tiefgreifendes Verständnis mathematischer Konzepte zu fördern. Sie werden schnell als monoton und wenig stimulierend empfunden. Die Variationstheorie bietet eine vielversprechende Möglichkeit, diese Herausforderungen zu überwinden und Übephasen im Mathematikunterricht anders zu gestalten.

Theoretischer Hintergrund der Variationstheorie

Die Variationstheorie entstand aus der Forschung zur Lerntheorie und wurde insbesondere durch die Arbeiten des schwedischen Pädagogen Ference Marton geprägt. Im Zentrum dieser Theorie steht die Erkenntnis, dass Lernen am effektivsten ist, wenn Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit haben, Unterschiede zwischen nahezu identisch gestalteten Aufgaben zu erkennen und darüber zu reflektieren. Hieraus ergibt sich der Ansatz für eine Form des intelligenten, reflektierten Übens, das darauf abzielt, den Lernenden ein tieferes Verständnis zu vermitteln. Dabei wird ihnen ermöglicht, zu ahnen und zu reflektieren, wie sich (kleine) Veränderungen in den Aufgabenstellungen auf die Lösungen auswirken.

Ein zentrales Element der Variationstheorie ist die Idee, dass das Erkennen von Unterschieden das Verständnis verstärkt. Dies geschieht durch die gezielte Gestaltung von Lernaufgaben, die es ermöglichen, spezifische Aspekte eines Konzeptes zu isolieren und zu variieren. Durch diese Kontrastierung können Lernende die essenziellen Merkmale eines Konzeptes erkennen und verstehen, wie sich Veränderungen auf die Lösung auswirken.

Anwendung der Variationstheorie im Mathematikunterricht

Die Strategie besteht darin, in einer Sequenz von Aufgaben so viel wie möglich von einer Aufgabe zur nächsten konstant zu halten und nur ein Element zu variieren. Dies lenkt die Aufmerksamkeit der Schülerinnen und Schüler auf das Element, das variiert wurde. Jede Veränderung (oder deren Ausbleiben) in der Antwort kann dann auf die Änderung des Elements zurückgeführt werden. Da jede Frage oder jedes Beispiel mit dem vorherigen zusammenhängt, können die Lernenden Erwartungen an die Antwort stellen. Dies kann zu bedeutenden Erkenntnismomenten und Diskussionen führen, wenn diese Erwartungen nicht erfüllt werden, und zwingt die Schüler dazu, tiefer über die involvierten Prozesse nachzudenken, anstatt nur automatisch durch eine Sequenz von Fragen oder Aufgaben zu navigieren.

Die Umsetzung der Variationstheorie im Klassenzimmer erfordert von Lehrkräften, sorgfältig zu überlegen, wie sie ihre Unterrichtsmaterialien und Übungen gestalten. Ziel ist es, Lernumgebungen und Sequenzen zu schaffen, in denen Schülerinnen und Schüler durch das Erkennen von Mustern und Unterschieden zu tieferen Einsichten gelangen. Hier sind einige Beispiele, wie dies im Mathematikunterricht aussehen kann:

Bruchrechnung: Beginnen Sie mit einfachen Aufgaben, bei denen nur ein Element variiert, während alles andere konstant bleibt. Dies hilft Schülerinnen und Schülern, die direkte Auswirkung dieser Variation auf das Ergebnis zu sehen und verstehen. Das könnte z. B. wie folgt aussehen (Quelle: variationtheory.com).

  1. \( \frac{1}{5} \text{ von } 30 = \, \Delta \)

    Einführung in die Grundoperation mit Brüchen.

  2. \( \frac{1}{5} \text{ von } 15 = \, \Delta \)

    Variation der Menge, um den Einfluss auf das Ergebnis zu untersuchen.

  3. \( \frac{2}{5} \text{ von } 15 = \, \Delta \)

    Erhöhung des Zählers, um die Auswirkung auf das Produkt zu betrachten.

  4. \( \frac{2}{10} \text{ von } 15 = \, \Delta \)

    Anpassung des Nenners, Untersuchung des Effekts auf das Ergebnis.

  5. \( \frac{3}{10} \text{ von } 15 = \, \Delta \)

    Weiterführende Variation von Zähler und Nenner.

  6. \( \frac{3}{\Delta} \text{ von } 15 = 9 \)

    Umkehrung der Aufgabe, um das Verständnis für den Zusammenhang zwischen Bruchteil und Gesamtmenge zu vertiefen.

  7. \( \frac{\Delta}{5} \text{ von } 15 = 24 \)

    Die Schüler müssen den Zähler bestimmen, der zum gegebenen Ergebnis führt.

  8. \( \frac{1}{5} \text{ von } \Delta = 24 \)

    Hier müssen die Schüler die Gesamtmenge ermitteln, ein wichtiger Schritt zur Vertiefung des Verständnisses.

  9. \( \frac{4}{5} \text{ von } \Delta = 24 \)

    Variation des Bruchs, um den Einfluss auf die Gesamtmenge zu analysieren.

  10. \( \frac{5}{4} \text{ von } \Delta = 24 \)

    Eine finale Variation, die das Konzept der Umkehrung von Bruchoperationen hervorhebt.

Multiplikation und Division: Variieren Sie systematisch einen der Faktoren oder den Divisor, während die anderen Teile des Terms unverändert bleiben. Solche Übungen verdeutlichen, wie sich Veränderungen auf das Endergebnis auswirken und fördern ein tieferes Verständnis der Operationen. Ein Beispiel für die Multiplikation von Dezimalzahlen sehen Sie hier (Quelle: variationtheory.com).

MathJax Beispiel - Verwendung von \cdot

\[ \begin{array}{rcl} 30 \cdot 40 & = & \Delta \\ 3 \cdot 40 & = & \Delta \\ 3 \cdot 400 & = & \Delta \\ 0.3 \cdot 400 & = & \Delta \\ 0.3 \cdot 40 & = & \Delta \\ 0.3 \cdot 4 & = & \Delta \\ 0.3 \cdot 0.4 & = & \Delta \\ 0.03 \cdot 0.4 & = & \Delta \\ 0.03 \cdot 4 & = & \Delta \\ \end{array} \]

\[ \begin{array}{rcl} 6 \cdot 5 & = & \Delta \\ 6 \cdot 0.5 & = & \Delta \\ 60 \cdot 0.5 & = & \Delta \\ 60 \cdot 0.05 & = & \Delta \\ 6 \cdot 0.05 & = & \Delta \\ 0.6 \cdot 0.05 & = & \Delta \\ 0.6 \cdot 0.5 & = & \Delta \\ 0.06 \cdot 0.5 & = & \Delta \\ 0.06 \cdot 5 & = & \Delta \\ \end{array} \]

Komplexere Themen: Bei der Einführung komplexerer Themen wie Brüche, Dezimalzahlen oder Algebra können Lehrkräfte die Variationstheorie nutzen, um die Beziehungen zwischen den Konzepten zu verdeutlichen. Indem sie Sequenzen erstellen, die systematische Änderungen in den Zahlen oder in den algebraischen Ausdrücken vornehmen, können sie Schüler dazu anregen, über die zugrundeliegenden mathematischen Prinzipien nachzudenken. Eine Übersicht etwa zur Algebra finden Sie hier.

RECE – Die Bearbeitung im Unterricht

Der britische Mathematiklehrer Craig Barton empfiehlt, solche Aufgaben den Schülerinnen und Schülern im Format des “Reflect, Expect, Check, Explain” (RECE) zu stellen. Außer der jeweiligen Aufgabe gibt er ihnen die folgenden Aufträge (“Prompts”):

REFLEKTIEREN (“REFLECT”)
Vergleiche diese Frage mit der vorherigen:
– Was hat sich verändert?
– Was ist gleich geblieben?

ERWARTEN (“EXPECT”)
Kannst du auf der Grundlage deiner Überlegungen und der vorherigen Antwort Erwartungen an diese Antwort stellen?
– Wird sich die Antwort erhöhen/verringern/gleichbleiben?
– Erwartest du einen bestimmten Wert für die Antwort?
– Wird die Antwort anders aussehen?
– Wird sich die Art und Weise, wie du die Antwort berechnest, ändern?
– Wenn du keine Erwartung formulieren kannst, mach dir keine Sorgen, du bekommst bald eine neue Chance!

ÜBERPRÜFEN (“CHECK”)
Überprüfe nun deine Erwartung mit der Methode, die du gelernt hast.

ERKLÄREN (“EXPLAIN”)
Denke über deine Antwort nach:
– Wenn du es nicht geschafft hast, eine Erwartung zu bilden, kannst du den Zusammenhang jetzt erklären?
– Wenn dich die Antwort überrascht, kannst du jetzt erklären, warum?
– Wenn die Antwort dich nicht überrascht, wie würdest du sie jemandem erklären, der sie noch nicht verstanden hat?

Hieran wird deutlich, inwiefern die Variationstheorie in Gestalt der RECE-Methode den Mathematikunterricht bereichern kann, indem sie Schülerinnen und Schüler dazu ermutigt, beim Üben auch aktiv und reflektiert zu lernen. Die RECE-Methode zielt darauf ab, das mathematische Denken zu fördern. Doch was genau ist damit gemeint, und wie geschieht das?

Mathematisches Denken und RECE-Üben

Mathematisches Denken wird in der Literatur als ein Prozess beschrieben, der sich aus vier Hauptkomponenten zusammensetzt, die auf der Arbeit von John Mason, Leone Burton und Kaye Stacey in ihrem Buch „Thinking Mathematically“ basieren:

  1. Specialising (Spezialisieren): Das Ausprobieren von Spezialfällen und das Betrachten von Beispielen.
  2. Generalising (Verallgemeinern): Das Suchen nach Mustern und Beziehungen.
  3. Conjecturing (Vermuten): Das Vorhersagen von Beziehungen und Ergebnissen.
  4. Convincing (Überzeugen): Das Finden und Kommunizieren von Gründen, warum etwas wahr ist.

Darüber hinaus werden Aktivitäten wie Erkunden, Fragen stellen, systematisch Arbeiten, Visualisieren, Vermuten, Erklären, Verallgemeinern, Rechtfertigen und Beweisen als Kern des mathematischen Denkens angesehen. Diese Fähigkeiten sind es, die alle Mathematiklehrer in ihren Klassenräumen sehen möchten. Allerdings wird auch immer wieder betont, dass dieses Niveau des mathematischen Denkens nicht einfach durch Zufall oder von selbst entsteht, sondern durch sorgfältige Planung und Unterstützung gefördert werden muss.

Der Zusammenhang zwischen mathematischem Denken und der RECE-Methode ist nun, dass die RECE-Methode als ein spezifisches Verhalten oder eine Reihe von Praktiken angesehen werden kann, die das solchermaßen beschriebene mathematische Denken unterstützen. Durch Reflektieren, Erwarten, Überprüfen und Erklären werden Schüler dazu angeregt, Muster und Beziehungen zu erkennen, Vorhersagen zu treffen und ihre Gedankengänge zu kommunizieren. Diese Methode fördert ein tiefes Verständnis für mathematische Konzepte und Prozesse, indem sie die Schüler aktiv in den Lernprozess einbezieht und sie dazu ermutigt, über ihre Antworten nachzudenken und sie zu begründen. So unterstützt die RECE-Methode direkt die Entwicklung des mathematischen Denkens, indem sie Schülern hilft, die oben genannten Kernfähigkeiten des mathematischen Denkens in der Praxis anzuwenden.

Vorteile und Herausforderungen 

Die Anwendung der RECE-Methode bringt gewiss zahlreiche Vorteile mit sich, stellt Lehrkräfte aber auch vor Herausforderungen. Ein grundlegendes Verständnis dieser Aspekte kann Lehrpersonen dabei helfen, den Ansatz effektiver zu nutzen und ihre Schüler optimal zu fördern.

Vorteile:

  • Fördert tieferes Verständnis: Indem Schülerinnen und Schüler aktiv Zusammenhänge zwischen Aufgaben erkunden, entwickeln sie ein tieferes Verständnis der mathematischen Konzepte. Dieses Verständnis geht über das bloße Auswendiglernen von Formeln hinaus und ermöglicht es ihnen, Wissen flexibler anzuwenden.
  • Entwickelt kritisches Denken: Die RECE-Methode regt zum Nachdenken und Hinterfragen an, wodurch mathematisches Denken und Problemlösungsfähigkeiten gefördert werden. Schüler lernen, Aufgaben aus verschiedenen Perspektiven zu betrachten und eigene Lösungsstrategien zu entwickeln.
  • Unterstützt individuelles Lernen: Da die Methode Schüler dazu anhält, auf ihre eigene Art und Weise über mathematische Probleme nachzudenken, unterstützt sie individuelle Lernwege und -geschwindigkeiten. Lehrkräfte können Aufgaben anpassen, um unterschiedliche Bedürfnisse und Fähigkeiten zu berücksichtigen.

      Herausforderungen:

      • Zeit und Ressourcen: Die Gestaltung von Unterrichtsmaterialien, die den Prinzipien der Variationstheorie entsprechen, kann zeitaufwändig sein. Lehrkräfte müssen möglicherweise bestehende Materialien überarbeiten oder neue erstellen, um systematische Variationen zu integrieren. Zahlreiche Hilfen gibt es auf variationtheory.com
      • Schülerengagement: Nicht alle Schüler finden sofort Zugang zu dieser Art des Lernens. Einige benötigen möglicherweise zusätzliche Unterstützung, um die Bedeutung der Variationen zu erkennen und deren Wert für ihr Lernen zu schätzen.
      • Lehrerfortbildung: Lehrkräfte benötigen eine solide Verständnisgrundlage der Variationstheorie und ihrer Anwendung in der RECE-Methode. Dies erfordert oft zusätzliche Schulungen oder professionelle Entwicklungsprogramme

      Trotz dieser Herausforderungen überwiegen die Vorteile der RECE-Methode deutlich, insbesondere wenn es darum geht, ein nachhaltiges Verständnis mathematischer Konzepte zu fördern. Mit den richtigen Strategien können Lehrkräfte die Herausforderungen meistern und ihre Schüler auf ihrem Weg zu einem tieferen mathematischen Verständnis effektiv unterstützen.

      Ressourcen und weiterführende Literatur 

      Um Lehrkräfte beim Erlernen und Implementieren zu unterstützen, gibt es einige Ressourcen und weiterführende Literatur. Hier sind Empfehlungen:

      • Publikationen: Das Buch “Reflect, Expect, Check, Explain”  von Craig Barton bietet vertiefte Einblicke in die theoretischen Grundlagen und praktischen Anwendungen der Variationstheorie als RECE-Methode für den Mathematikunterricht der Sekundarstufen.
      • Online-Ressourcen: Die Website variationtheory.com bietet praktische Beispiele und Übungsaufgaben, die nach den Prinzipien der Variationstheorie gestaltet sind und sich zur Durchführung im RECE-Format eignen. Ebenso finden sich dort Hinweise zur Implementierung solcher Aufgaben im Unterricht.
      • Professionelle Entwicklung: Teilnahme an Workshops und Seminaren, die sich speziell mit der Variationstheorie und ihrer Anwendung im Unterricht beschäftigen, kann Lehrkräften helfen, ihre Kenntnisse zu vertiefen und neue Strategien zu erlernen.

      Obwohl diese Ressourcen einen guten Ausgangspunkt bieten, ist es natürlich wichtig, dass Lehrkräfte sich kontinuierlich weiterbilden und austauschen, um die besten Praktiken für die Anwendung der Variationstheorie in ihrem eigenen Unterricht zu finden.

      Fazit

      Die Variationstheorie und die RECE-Methode bieten einen wirkungsmächtigen Ansatz, um den Mathematikunterricht zu bereichern und das Lernen in Übungsphasen für Schülerinnen und Schüler bedeutungsvoller zu gestalten. Durch den Fokus auf intelligentes, reflektiertes Üben fördert sie nicht nur ein tiefes Verständnis mathematischer Konzepte, sondern entwickelt auch mathematisches Denken und Problemlösungsfähigkeiten. Während die Implementierung ihre Herausforderungen mit sich bringen mag, die in einem künftigen Artikel noch vertieft werden, sind die Vorteile für das Lernen und Verstehen von Mathematik unbestreitbar

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