Der 100-köpfige Drachen

Dr. Michael Glaubitz
Dr. Michael Glaubitz

mathematik-unterrichten.de

Im Lande Draconis gibt es einen gefährlichen Drachen, der 100 Köpfe hat.

Gegen diesen Drachen kämpft ein tapferer Ritter. Mit einem Schlag seines magischen Schwertes kann er dem Drachen entweder 15 oder 17 oder 20 oder 5 Köpfe auf einmal abschlagen. Andere Schläge, mit denen der Ritter dem Drachen eine andere Zahl von Köpfen abschlagen würde, sind leider nicht möglich. Wenn er ihm 15 Köpfe abschlägt, wachsen dem Drachen allerdings sofort 24 neue nach. Schlägt er ihm 17 Köpfe ab, wachsen 2 neue nach, bei 20 sind es 14 neue und bei 5 sind es 17.

Um den Drachen zu besiegen, muss der Ritter ihm alle Köpfe abschlagen.

Die Frage lautet nun: Kann der Ritter so kämpfen, dass er den Drachen besiegt?


Mit dem folgenden Applet können Sie es ausprobieren und Ideen entwickeln.

Das Applet funktioniert besser auf einem größeren Bildschirm.

Um es vorweg zu nehmen: Nein, der Ritter kann den Drachen nicht besiegen. Zur Begründung bemerken wir folgendes:

  1. Schlägt der Ritter dem Drachen 15 Köpfe ab, wachsen ihm 24 Köpfe nach. Er gewinnt also 9 Köpfe hinzu. 9 ist eine Zahl, die durch 3 teilbar ist.
  2. Schlägt er ihm 17 Köpfe ab, wachsen 2 neue nach, so dass er 15 Köpfe verliert. Auch 15 ist durch 3 teilbar.
  3. Beim Abschlagen von 20 oder 5 Köpfen, verliert der Drachen 6 Köpfe bzw. gewinnt 12 hinzu. Auch diese beiden Zahlen sind durch 3 teilbar.


Wir können also festhalten, dass der Drachen bei jedem Hieb des Ritters 
eine durch 3 teilbare Zahl von Köpfen hinzugewinnt oder verliert.

Zu Beginn hat der Drachen 100 Köpfe. 100 lässt bei Division durch 3 den Rest 1. Nach jedem Abschlagen und Nachwachsen der Köpfe entsteht also eine Anzahl, die bei Division durch 3 ebenfalls wieder den Rest 1 lässt. Daher lässt sich die Zahl der Köpfe nie auf 0 reduzieren, so dass der Ritter nicht gewinnen kann.

Mathematisch kann man es wie folgt ausdrücken: 100 lässt bei Division durch 3 den Rest 1, ist also – wie man auch sagt und schreibt – kongruent 1 modulo 3: \small 100 \equiv 1 \bmod 3. Durch Subtraktion oder Addition von \small 0 \bmod 3 erhält man aber kein anderes Resultat als \small 1 \bmod 3.

 

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